Сухоставський, ВадимСкиба, МиколаКрасій, МихайлоТолстюк, АртемSukhostavskyi, VadymSkyba, MykolaKrasii, MykhailoTolstiuk, Artem2026-01-132026-01-132025Математична модель замкнутої системи контролю якості FDM 3D друку / В. Сухоставський, М. Скиба, М. Красій, А. Толстюк // Herald of Khmelnytskyi National University. Technical Sciences. – 2025. – Vol. 359, No. 6.2. – P. 298-307.https://elar.khmnu.edu.ua/handle/123456789/20292Забезпечення стабільної якості виробів, виготовлених методом FDM, ускладнюється стохастичністю теплових процесів, неньютонівською реологією розплаву та чутливістю геометрії шару до параметрів подачі й руху. У роботі запропоновано замкнену математичну модель контролю якості, що поєднує фізичні підмоделі процесу з оцінюванням стану, детекцією дефектів і оптимальним керуванням. Об’єкт подано як нелінійну дискретну систему 𝑥𝑘+1 = 𝑓(𝑥𝑘, 𝑢𝑘, 𝑑𝑘) + 𝑤𝑘 , 𝑦𝑘 = ℎ(𝑥𝑘, 𝑢𝑘) + 𝑣𝑘 зі складовими: (i) теплова динаміка екструдера та сопла (енергобаланс з теплопровідністю, конвекцією та охолодженням потоком), (ii) реологія/витрата (Гаґен–Пуазейль зі степеневою в’язкістю), (iii) геометрія формування шару (масозбереження 𝑞 = 𝑣𝑥𝑦 ⋅ ℎ ⋅ 𝑤), (iv) латентні показники якості (адгезія 𝛼, пористість 𝜑, зсув 𝛥𝑠). Сенсорна модель охоплює температурні, інерційні та візуальні вимірювання з шумами. Для злиття моделі й даних застосовано спостерігач EKF/UKF з діагностикою за інноваціями (NIS/NEES). Блок детекції поєднує ознаки комп’ютерного зору з резидуальною статистикою, формуючи ймовірність дефекту та інтегральну впевненість 𝑐𝑘 . Якість шару оцінюється функціоналом 𝑄𝑘 , що агрегує відхилення геометрії, температури та латентних показників. Керування виконує MPC: на ковзному горизонті мінімізуються майбутні втрати якості з урахуванням динаміки та технологічних обмежень, а для швидких відхилень діють прості адаптивні корекції (подача/швидкість). Наглядач безпеки реалізує подієву логіку (м’які корекції або пауза/стоп) за перевищенням порогів. Показано структурну схему, нумеровані рівняння, таблицю позначень, часові масштаби контурів і настанови з тюнінгу ваг, порогів та коваріацій шумів. Запропонована модель є придатним «шаблоном» для інтеграції в прошивки/зовнішні контролери, підвищує відтворюваність FDM-друку за рахунок своєчасного виявлення та компенсації дефектів і слугує основою для цифрових двійників та подальшої оптимізації процесу.Ensuring consistent quality in FDM printing is challenging due to stochastic thermal behavior, non-Newtonian melt rheology, and the strong sensitivity of bead geometry to feed and motion parameters. This paper presents a closed-loop mathematical model for quality control that tightly integrates physics-based submodels with state estimation, defect detection, and optimal control. The process is formulated as a nonlinear discrete-time system 𝑥𝑘+1 = 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑢𝑘 , 𝑑𝑘 ) + 𝑤𝑘 , 𝑦𝑘 = ℎ(𝑥𝑘 , 𝑢𝑘 ) + 𝑣𝑘comprising: (i) a thermal model of heater block and nozzle (energy balance with conduction, convection, and flow-induced cooling), (ii) rheology/flow (Hagen–Poiseuille with power-law viscosity), (iii) layer geometry (mass conservation 𝑞 = 𝑣𝑥𝑦 ⋅ ℎ ⋅ 𝑤), and (iv) latent quality indicators (interlayer adhesion 𝛼, porosity 𝜑, in-plane shift 𝛥𝑠). The sensing layer covers temperature, inertial, and vision channels with explicit noise models. An EKF/UKF observer fuses model and data; consistency is monitored via NIS/NEES. The detection block combines computer-vision features with residual statistics to produce a defect probability and a fused confidence 𝑐𝑘 . Layer quality is quantified by a cost 𝑄𝑘aggregating deviations in geometry, temperature, and latent indicators. Control is performed by MPC: over a receding horizon it minimizes the predicted quality loss subject to plant dynamics and technological constraints, while lightweight adaptive corrections handle fast deviations (flow/speed trims). A safety supervisor implements event-based logic (soft corrections or pause/stop) if thresholds are exceeded. We provide a structural diagram, numbered equations, a symbol table, time-scale separation guidelines, and practical tuning advice for weights, thresholds, and noise covariances. The proposed model acts as a deployable template for firmware/external controllers, improves FDM reliability through timely defect detection and compensation, and forms a rigorous basis for digital twins and subsequent process optimization.ukFDM 3D-друкзамкнене керуванняконтроль якості in-situкомп’ютерний зіроцінювання стану (EKF/UKF)модельно-прогнозне керування (MPC)критерій якості шару 𝑄𝑘реологія розплавуDM 3D printingclosed-loop controlin-situ quality monitoringcomputer visionstate estimation (EKF/UKF)Model Predictive Control (MPC)layer quality cost 𝑄𝑘melt rheologyhotend/nozzle thermal modelСтаття678.05